绪论部分

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数值计算的任务和特点

最有效的算法：适用范围广、运算工作量少，需用存储单元少，逻辑结构简单,便于编写计算机程序,而且计算结果可靠

误差估计：由于计算机计算通常是近似的，因而一般要求算法能估计误差
稳定性：计算过程中,误差能得到控制,各步误差对计算结果不致产生过大影响;不合适的算法会导致计算误差达到不能容许的地步，而使计算最终失败.
收敛性：通过增加计算量，能使近似计算解充分接近理论解

没有一种算法处处有效，而且各种算法在计算过程中往往都会出现某些问题

计算机的数系和运算特点

任意实数x可以表示成十进制的浮点数

...

数值计算的误差

误差的来源:过失误差,非过失误差

非过失误差:模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差

截断误差:对某种无穷过程进行“截断”，即仅保留无穷过程的前段有限序列而舍弃它的后段

舍入误差:在数值计算中会遇到一些无穷小数,在无理数和有理数分化出的无线循环小数

计算机数系收到机器字长的限制,使离散的有限集,产生舍入误差每一步的舍入误差按照四舍五入的一定位的有理数来替代,产生舍入误差

数学模型一旦建立，进入具体计算时所要考虑和分析的就是截断误差和舍入误差

模型误差和观测误差不是计算工作者所能独立解决的

绝对误差与相对误差

误差限,准确值$x^*$,近似值x,绝对误差简称误差$x^*-x$

常用$\(x^{*}=x\pm \varepsilon$\) 用具有毫米刻度的米尺测量不超过$1m$的某个物体的长度$l^{*}$时如果读出的长度是$513mm$，即$l^*$ 在$[512.5, 513.5)$毫米区间内

绝对误差还不能完全评价近似值的精确度

$\(e^r=\frac{e}{x^{*}}=\frac{x^*-x}{x^*}$\) 相对误差是一个无量纲量,通常用百分数表示,相对误差的绝对值越小,近似程度越高

由于准确值的$x^*$一般无法知道,不能定出相对误差$e^r$的准确值,而只能估计他们的大小范围

如果存在一个正数

\[\varepsilon_r\]

使得

\[e_r\leq\varepsilon_r\]

那么正数$\varepsilon_r$成为近似数x的相对误差限

相对误差不如绝对误差容易得到,在实际中长借助绝对误差限来求之,并取分母中的准确值$x^*$为近似值,即取

\[\varepsilon_r = \frac{\varepsilon}{|x|}\]

有效数字

一种近似数的表示方法，既能表示其大小，又能表示其精确程度在计算中常按四舍五入原则得到数x*的前几位近似值x，例如设

\[x^*=0.123456789\]

取x=0.1235,这里x是x*的四位有效数字近似值

有效数字的位数是指从左边第一个非零数字开始，到最后一个数字为止的位数

绝对误差限都不超过末位的半个单位，即

\[|x^*-x|\leq 0.5\times 10^{k-n}\]

其中k是x*的小数点右边第一个数字的位置，n是有效数字的位数

定理1:设近似数是

\[x=\pm0.a_1a_2...a_n\times 10^m\]

有n位有效数字,则x的绝对误差限为

\[|x^*-x|=\varepsilon\leq \frac{1}{2a_1}\times 10^{m-n}\]

证明:由于x有n位有效数字,所以

\[|e|=|x^*-x|\leq \frac{1}{2}\times 10^{m-n}\]

而

\[|x|\geq a_1\times 10^{m-1}\]

所以有

\[|e_r| = |\frac{x^*-x}{x}|\leq \frac{\frac{1}{2}\times 10^{m-n}}{a_1\times 10^{m-1}}=\frac{1}{a_1}\times 10^{-n+1}\]

定理2:设近似数是

\[x=\pm0.a_1a_2...a_n\times 10^m\]

有n位有效数字,则x的相对误差限为

\[|e_r|\leq \frac{1}{2a_1}\times 10^{-n+1}\]

那么它至少有n位有效数字

例题:要是$\sqrt{20}$的近似值的相对误差线小于$0.1%$.要取几位有效数字

解:设要取n位有效数字.

有定理1知道

\[\varepsilon = \frac{1}{2a_1}\times 10^{-n+1}\]

此时,有

\[\sqrt{20}=10\times0.44...\]

所以,a1=4,所以

\[\varepsilon = \frac{1}{2\times 4}\times 10^{-n+1}=\frac{1}{8}\times 10^{-n+1}\leq 0.1\]

所以

\[$$10\times 10^{-n} \leq 8 \times 10^{-3}\]

所以,取n=4,此时的相对误差小于0.1

计算机的舍入误差

自学

误差的传播

任何数学问题的解y总与某些参量有关,这些参量的值往往不是完全确定的,而是有一定的误差限

\[y^*=f(x_1^*,x_2^*,...,x_n^*)\]

设$x_i^*$的近似值为$x_i$,则y为相应的解

则近似解的绝对误差为

\[f(y) = y^*-y = f(x_1^*,x_2^*,...,x_n^*)-f(x_1,x_2,...,x_n)\]

相对误差为

\[e_r(y)=\frac{f(y)}{y^*} = \frac{f(x_1^*,x_2^*,...,x_n^*)-f(x_1,x_2,...,x_n)}{f(x_1^*,x_2^*,...,x_n^*)}\]

当数据误差较小时，由于函数增量近似等于其微分，得误差估计式

这里有很多笔记和数学公式要写,回头写

写笔记

在运算中的传播

加减运算:

近似值之和的绝对误差等于个近似值的绝对误差的代数和

两数详见的时候,绝对误差等于两数绝对误差的代数和

乘除运算:

近似值的乘积的相对误差等于相乘因子的相对误差的代数和

避免绝对值很大的数作为因子

两近似值之商的相对误差等于被除数的相对误差与除数的相对误差.

应当尽量避免用接近于零的数作除数

乘方及开方运算:

乘方的运算相当于把自己的精度降低了q倍

开方则是增加了q倍的精度

无损变形:

$\(x = (\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1})^6$\)	-	-	-

相近数相减,导致精度扩散

算法的稳定性

算法不是单纯的数学公式,，是对一些已知数据按某种规定的顺序进行有限次四则运算

一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误差不增长,则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定的

需要构造数值稳定的算法

几个原则

防止大数吃掉小数,影响计算精度(计算机字长有限)
- 为减少舍入误差，实际计算时需注意运算顺序，避免大数吃掉小数:结论：若干数相加，最好先加绝对值较小的数
要控制舍入误差的积累和传播:可靠的算法，各步误差不应对计算结果产生过大影响，即具有稳定性

后面的内容有很多,回头再写

p26 T1T2T9

交作业在学在浙大,拍照上传就好