插值拟合

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作业: P227 8 12 13

向量矩阵的范数

向量的范数:对n维向量的大小给出某种度量向量的1范数: $||x||_1=\sum^{n}_{i=1}|x_i|$

向量收敛的定义

插值与拟合

设$y=f(x)$在$[a,b]$上连续,且在n+1个不同的点,都有对应的函数值yi

插值:在一个性质优良,便于计算的函数类中,求一个简单函数$P(x)$,使得$P(x_i)=y_i$

这样如果得到了一个新的x,我们可以根据$P(x)$给出f(x)的近似值

误差函数$R(x)=f(x)-P(x)$

插值基函数:

一般的n次代数插值多项式可以写成

$P_n(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...+a_n x^n$

构成一个n+1阶的线性方程组

可以解出每一个值

如何估计误差限

线性插值

已知$(x_0,y_0),(x_1,y_1)$求$P_1(x)=a_0+a_1x$使得$P(X_0)=Y_0,P(X_1)=Y_1$ 可见$P_1(x)$是过$(x_0,y_0)$和$(x_1,y_1)$两点的直线

我们可以做一个单独的变形

\[P_1(x)=y_0+\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x-x_0)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}y_0+y_1\frac{x-x_0}{x_1-x_0}y1\]

记录$\(l_0(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}$\) 则可以有在$x=x_1$的时候,正好等于$y_1$,在$x=x_0$的时候正好等于$y_0$

抛物线插值

此时$P_2(x)=a_0+a_1x+a_2x^2$,且$P_2(x_0)=y_0,P_2(x_1)=y_1,P(x_2)=y_2$

基函数方法为$\(y=P_2(x)=\sum l_i(x)y_i$\) 节点条件是 $$ \begin{cases} l_0(x_0) =1;l_0(x_1)=0,l_0(x_2)=0\ l_0(x_0) =0;l_0(x_1)=1,l_0(x_2)=0\ l_0(x_0) =0;l_0(x_1)=0,l_0(x_2)=1 \end{cases} $$ 希望找到$l_i(x),i=0,...,n$,使得$l_i(x_j)=\delta_{ij}$ 然后令$\(P_n(x)=\sum^{n}_{i=0}l_i(X)y_i$\)

显然有$\(P_n(x_i)=y_i$\) 其中$\(l_i=\Pi\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$\)

若$x_0,x_1,x_n$是互易的节点,且$f(x_i)$已知每周二存在唯一且不少过n的多项式$P_n(x)$,使得$P_n(x_j)=f(X_i)$

如果多项式次数限制在n,则插值多项式不唯一