连续信号

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普通信号:复指数信号

$\(x(t)=Ae^{st}$\) s为复数$\(s=\sigma+j\omega$\) 则由于欧拉公式得到

\[x(t)=Ae^{(\sigma+\omega j )t}=Ae^{\sigma}(cos(\omega t)+isin(\omega t)\]

特殊情况

$\sigma$ = 0,$\omega = 0$,此时$x(t) =A$为直流信号
$\sigma \neq 0,\omega =0$,此时$\(x(t)=Ae^{\sigma t}$\)为实指数信号普通信号:实指数信号

复指数信号的实部是和虚部就是cos和sin的区别,前面系数一样的

奇异信号:

单位斜坡信号:

单位阶跃信号:

在0的时候,具体值是0.5

用数学表达式描述各种信号的接入特性,实际不会遇到电流的突变,但是可以遇到电压的突变

\[f(x)[u(t)-u(t-t_0)]\]

表示的是在$(0,t_0)$的信号

门函数:$\(G(t)=u(t)-u(t-\tau)$\) 延迟阶跃信号$\(G_1(t)=u(t-t_0)-u(t-t_0-\tau)$\) 此时是从$[t_0,t_0+\tau]$的范围内有一个阶跃信号(疾病阶跃信号又叫做门函数)

冲激信号:删选特性,偶函数

筛选的时候一般用单位冲击信号,采样的时候$x(t)$乘以一系列的单位冲击穿筛选特性是要求积分的,采样的时候是不求积分的

$\(x(nT)=x(t)\Sigma \delta(t-nT)$\) 在画图的时候,要画出箭头,写出幅值

单位冲激偶是单位冲激信号的微分$\(\delta'(t)=\frac{d}{dt}\delta(t)$\) 冲击偶的性质

面积为0
筛选性质:筛选出x(t)在0点的导数值的负数
奇函数

\[\int^{+\infty}_{-\infty}\delta'(t)x(t)=-x'(0)\]

一正一负,一上一下,左右对称

冲击偶信号:是冲击信号的求导

翻转: 将信号以纵轴为中心进行对称映射,用-t代替t变量进行代替原自变量得到的信号$x(-t)$

信号的微分,含义是取信号对时间的一阶导数,并且该信号要满足可微条件

卷积运算:

对于两个连续的时间信号$x_1(t),x_2(t)$,两者之间还满足交换律

\[x_1(t)*x_2(t)=\int^{\infty}_{-\infty}x_1(\tau)x_2(\tau)d\tau\]

题目是两个方波做卷积

变量替换,称为$x_1(\tau)$和$x_2(\tau)$
将$x_2(t)$平移t,得到$x_2(t-\tau)$
将$x_1(t)$和$x_2(t-\tau)$相乘,得到被积函数
将被积函数进行积分,即为所求的卷积积分,它是t的函数
t是参变量,$\tau$是变量

时宽是t,也就是x2和x1共同成立的这个取值范围

下面的结论必须是两个有限长度的情况下成立

卷积结果所占有的时宽等于两个函数各有时宽的总和
卷积中积分限的确定取决于两个图形的重合范围

卷积的物理意义:卷积上升下降趋势一般在重叠面积从上升到下降时完成转变

任意信号和单位冲激信号的卷积

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懒得敲了

信号的分解

分解成冲激函数之和
正交分解

分解成冲激函数之和:任意信号$x(t)$可以近似用一些列等宽度的矩形脉冲之和

\[x(t)\approx\Sigma^{\infty}_{k=-\infty}x(k\Delta t)\{u(t-\Delta t)-u(t-(k+1)\Delta t)\}\]

任意信号 x(t) 可以用经平移的无穷多个单位冲激函数加权后的连续和（积分）表示,任意信号$x(t)$可以分解为一系列具有不同强度的冲激信号

周期信号的傅里叶技级数展开

三角函数的傅里叶级数: 周期为$T_0$的周期信号$x(t)$,如果满足狄利赫里条件可以展开为三角函数的级数

$\(x(t)=\frac{a_0}{2}+\Sigma^{\infty}_{n=1}(a_ncos\omega_0 t +b_n sin \omega_0 t)$\) 傅里叶级数展开的意义就是把不相关的这些周期信号都用三角函数的形式表示,找到了共同点,在连续信号上便于一起分析

主要有以下几何系数

直流系数$a_0$
余弦系数$a_n$
正弦系数$b_n$

\[a_0=\frac{2}{T_0}\int^{T_0/2}_{-T_0/2}x(t)dt$$ $$a_n=\frac{2}{T_0}\int^{T_0}_{0}x(t)cosn\omega_0 tdt$$ $$b_n=\frac{2}{T_0}\int^{T_0}_{0}x(t)sinn\omega_0 tdt\]

狄利赫里条件:

在一个周期内有有限个间断点
在一个周期内有有限个极值点
在一个周期内函数绝对可积分

\[\int^{T_0/2}_{-T_0/2}|x(t)|dt<\infty\]

通常的周期信号都满足这些条件

傅里叶级数的三角函数正交集合表示

\[x(t)=\frac{A_0}{2}+\Sigma^{\infty}_{n=1}A_ncos(n\omega t + \phi_n)\]

其中$\(A_0=a_0$\)

\[A_n = \sqrt{a_n^2+b_n^2}\]

\[\phi_n = - arctan\frac{b_n}{a_n}\]

周期信号的频谱:

周期信号可以分解成一系列余弦信号之和

\[x(t)=\frac{A_0}{2}+\Sigma^{\infty}_{n=1}A_ncos(n\omega t + \phi_n)\]

一个周期为$T_0$的信号,除了直流分量以外,包含了频率为原信号频率以及为原信号频率整数倍的一系列正弦类型信号

原信号频率的成为基波信号,其他为原信号频率n倍数成为n次谐波信号

其中振幅为对应的$A_n$,相位为对应的$\phi_n$

我们可以通过欧拉公式转换成指数形式

\[x(t)=\frac{A_0}{2}+\sum^{\infty}_{n=1}A_ncos(n\omega_0 t +\psi_n)$$ $$=\frac{A_0}{2}+\frac{1}{2}\sum^{\infty}_{n=1}A_ne^{-j\psi_n}e^{-jn\omega_0 t}+A_ne^{j\psi n }e^{jn\omega_0 t}$$ $$=\frac{A_0}{2}+\sum^{\infty}_{-\infty}A_ne^{-j\psi_n}e^{-jn\omega_0 t}$$ $$=\frac{1}{2}\sum^{\infty}_{n=-\infty}A_ne^{j\psi_n}e^{jn\omega t}\]

\[=\sum^{\infty}_{n=-\infty}X(n\omega)e^{jn\omega_0 t }\]

所以$\(x(t)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}A_ne^{j\psi_n}e^{jn\omega_0 t}=\sum^{\infty}_{n=-\infty}X(n\omega)e^{jn\omega_0 t }$\) 所以$X(n\omega_0)=\frac{1}{2}A_ne^{j\psi_n}=\frac{1}{2}[A_ncos(\psi_n)+jA_nsin(\psi_n)]=\frac{1}{2}[a_n-jb_n]$

因为an和bn都是傅里叶变换中的三角函数的系数,都可以用x(t)积分表示

所以$\(X(n\omega_0)=\frac{1}{T_0}\int^{\frac{T_0}{2}}_{\frac{T_0}{2}}x(t)e^{-j\omega_0 t}dt$\)

周期信号的频谱函数:

指数形式的傅里叶级数表达式中复数量

$\(X(n\omega)=\frac{1}{2}A_ne^{j\phi_n}$\) 随频率的分布称为信号的频谱，也称为周期信号的频谱函数

幅度频谱和相位频谱: 由于 $X ( n \omega_0 )$ 包含了幅度和相位的分布 - 通常把幅度随频率的分布称为幅度频谱,简称幅频,也就是$|X(n\omega)|$ - 相位随频率的分布称为相位频谱$\phi_n$,简称相频

以频率为横坐标,各谐波分量的幅度或相位为纵坐标,画出幅频和相频的变化规律,称为信号的频谱图

\[x(t)=\sum^{\infty}_{n=-\infty}X(n\omega)e^{jn\omega t}$$ 其中$X(t)$是这样求的 $$X(n\omega)=\frac{1}{T_0}\int^{\frac{T_0}{2}}_{-\frac{T_0}{2}}x(t)e^{-jn\omega t},n=0 \pm 1 \pm2 \pm3...\]

取样函数:

$\(\frac{sinx}{x}$\) 称为取样函数,记作$\(Sa(x)$\)是偶函数,当$x->0$,时,$Sa(x)=1$取到最大值,随着$|x|$的增大而总趋势衰减

如图所示的矩形脉冲信号在一个周期内表示为 $$ x(t)= \begin{cases}\text{} E &-\frac{\tau}{2}\leq t\leq \frac{\tau}{2} \ 0 & \text {other} \end{cases} $$ 先求复傅里叶系数 $\(X(n\omega)=\frac{1}{T_0}\int^{\frac{T_0}{2}}_{\frac{-T_0}{2}}x(t)e^{-jn\omega t}dt = \frac{1}{T_0}Ee^{-jn\omega_0t}=\frac{E\tau}{T_0}\frac{sin\frac{1}{2}n\omega_0t}{\frac{1}{2}n\omega \tau}$\)

然后有 $\(X(n\omega_0)=\frac{E\tau}{T_0}Sa(\frac{n\omega \tau}{2})$\) 所以得到了复傅里叶系数

周期矩阵脉冲信号的复指数形式傅里叶级数展开式为

$\(x(t)=\frac{E\tau}{T_0}\sum^{\infty}_{n=-\infty}Sa(\frac{n\omega \tau}{2})e^{jn\omega t}$\)

周期矩形脉冲的频谱变化方式: 1. 周期T0不变，改变脉宽τ: 2. 脉宽τ不变，改变周期T0

周期矩形脉冲信号的频谱特性——离散性,谐波性,收敛性 - 频谱反映了个频率分量幅度随频率变化的情况 - - 频谱以基波频率$\Delta \omega$为间隔等距离分布，表明周期矩形脉冲信号只包含直流分量、基波分量和各次谐波分量 - 频谱幅度整体上具有减小的趋势，较高幅值的频谱集中在第一个过零点范围内，表明信号的能量绝大部分由该频率范围的各谐波分量决定(也就是上图的-4w到4w的范围)

任何满足狄利赫里条件的周期信号频谱都具有上面的三个性质

例题:求出复指数信号$e^{j\omega_0 t}$的频谱: 复傅里叶系数为 $\(X(n\omega_0)=\frac{1}{T_0}\int^{T_0/2}_{-T_0/2}e^{j\omega_0t}e^{-nj\omega_0t}dt$\) $\(=\frac{sin(n-1)\pi}{(1-n)\pi}=\begin{cases}1 &n=1\\0 &n!=1\end{cases}$\) 仅仅在$\omega_0$处有幅度为1的分量,说明复指数信号时正弦信号的一种表现形式

说明只包含了$\omega_0$这一个波形的信号

周期信号的功率分配

P为周期信号的平均功率

$\(P=\frac{1}{T_0}\int^{T_0/2}_{-T_0/2}x^2(t)dt$\) 将$\(x(t)=\frac{A_0}{2}+\sum^{\infty}_{n=1}A_ncos(n\omega_0 t + \psi_n)$\)代入,有

$\(P=A_0^2/4+\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{2}A_n^2$\) 说明周期函数在在时域的平均功率等于信号所包含的直流、基波及各次谐波的平均功率之和

反映了周期信号的平均功率对离散频率的分配关系,称为功率信号的帕斯瓦尔公式

周期信号的傅里叶级数近似: 一般情况下一个周期信号时由无穷多项正弦信号组合而成的,一般情况下需要无穷多项正弦型信号的和才能完全逼近一个周期信号,如果采用有限的相级数表示周期信号,势必产生误差

当信号为方波等脉冲信号时,高频分量主要影响脉冲的跳变沿，低频分量主要影响脉冲的顶部。所以，波形变化愈激烈，所包含的高频分量愈丰富；变化愈缓慢，所包含的低频分量愈丰富

非周期信号的频谱分析

非周期信号傅里叶变换的条件:

在无线区间内绝对可积
在任意有限区间内,x(t)只有有限个不连续点
在任意有限区间内,x(t)只有有限个极大值和极小值

常见非奇异信号的频谱: 1. 矩形脉冲信号 2. 单边指数信号 3. 双边指数信号 4. 双边奇指数信号

矩形脉冲信号: $\(g(t)=\begin{cases} E & |t|<\frac{\tau}{2} \\ 0 & |t|>\frac{\tau}{2} \end{cases}$\) 解出$\(X(\omega)=\int^{\infty}_{-\infty}dt=\int^{\tau/2}_{-\tau/2}Ee^{-j\omega t}t dt=\frac{2E}{\omega}sin\frac{\omega t }{2}=E\tau Sa(\frac{\omega t }{2})$\)

单边指数信号:

\[ x(t)= \begin{cases} e^{-at} & t>0,a>0\\ 0 & t< 0\\ \end{cases}$$ $$X(\omega)=\int^{\infty}_{-\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt=\int_{0}^{\infty}e^{-at}e^{-j\omega t}=\frac{1}{a+j\omega}\]

幅频$\(\frac{1}{\sqrt{a^2+\omega^2}}$\)

双边指数信号:

\[x(t)=e^{-a|t|},a>0$$ $$X(\omega)=\int^{\infty}_{-infty}e^{-j\omega t}dt=\int^{0}_{-\infty}e^{at}e^{-j\omega t}dt+\int^{\infty}_{0}e^{-at}e^{-j\omega t}dt\]

\[=\frac{1}{a-j\omega}+\frac{1}{a+j\omega}=\frac{2a}{a^2+\omega^2}\]

图像为

符号函数: 符号函数信号看双边奇指数信号当a趋向于0的极限

双边奇指数信号: $$x(t)=\begin{cases} -e^{at} & t<0,a>0\ e^{-at}&t>0,a<0 \end{cases} $$ 傅里叶变换之后的结果是 $\(X(\omega)=\int^{\infty}_{-\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt$\) $\(=\int^{0}_{-\infty}(-e^{at}e^{-j\omega t}dt+\int^{\infty}_{0}e^{-at}e^{-j\omega t}dt$\) $\(=-\frac{1}{a-j\omega}+\frac{1}{a+j\omega}=-j\frac{2\omega}{a^2+\omega^2}$\)

周期信号的频谱特征 1. 离散型 2. 谐波性 3. 收敛性

非周期信号的频谱特征 1. 连续性 2. 非谐波形 3. 收敛性

奇异信号的频谱: 1. 单位冲激信号 2. 单位直流信号 3. 符号函数信号 4. 单位阶跃信号

在不满足狄利赫里条件的时候也可以用冲激信号取极限的方式求其频谱

单位冲激信号: $\(\int^{\infty}_{-\infty}\delta(t)e^{j\omega t}dt=e^0=1$\)

包含所有的频率的信号,又称均匀频谱或者白色频谱

单位直流信号:

傅立叶变换的基本性质

线性: 我们可以把单位线性信号看做是直流信号+符号函数

\[u(t)=\frac{1}{2}+\frac{sgn(t)}{2}\]

奇偶性:无论x(t)是实函数还是复函数